Matemáticas influenciadas por la teoría de cuerdas
Las matemáticas desempeñan un papel fundamental en la investigación de los físicos teóricos, permitiéndoles profundizar en su comprensión de la naturaleza.
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En una escena de la serie Big Bang Theory, dos físicos teóricos se enfrentan a una ecuación complicada mientras suena Eye of the Tiger en una pequeña oficina llena de pizarras blancas. Aunque falta un matemático para completar el cuadro, la importancia de las matemáticas en la física teórica es innegable. Desde el cálculo diferencial de Newton hasta la geometría de los espacios curvos en la relatividad general de Einstein, las matemáticas han sido la herramienta principal para explorar la naturaleza. Sin embargo, en los últimos años, la teoría de cuerdas ha atraído tanto a físicos como a matemáticos, destacando la intersección entre ambas disciplinas.
La teoría de cuerdas, concebida en los años 1970 por Jöel Scherk y John Henry Schwarz, busca unificar la gravedad con otras fuerzas fundamentales y resolver el desafío de incorporar la gravedad a la teoría cuántica. En esta teoría, las partículas puntuales son reemplazadas por objetos unidimensionales llamados "cuerdas", cuyos diferentes modos de vibración representan los constituyentes del universo conocido. Además, una variante de esta teoría, propuesta por Pierre Ramond, André Neveu y John Henry Schwarz, incluye la supersimetría y postula la existencia de partículas llamadas fermiones. Esta versión requiere la presencia de seis dimensiones adicionales, además del espacio-tiempo cuatridimensional, que se encuentran enrolladas en formas compactas de tamaño diminuto.
La teoría de cuerdas requiere un espacio interno con una geometría muy específica que permita la vibración adecuada de las cuerdas fundamentales en un espacio total de diez dimensiones. En la década de 1980, Philip Candelas, Gary T. Horowitz, Andrew Strominger y Edward Witten identificaron las formas interesantes de estos espacios internos, conocidas como variedades Calabi-Yau, cuya existencia teórica fue demostrada previamente por el matemático y medallista Fields S.-T. Yau. Esta relación ha permitido a la teoría de cuerdas abordar problemas matemáticos, como el problema de geometría enumerativa planteado por el griego Apolonio de Perga, que indagó sobre el número de círculos tangentes a tres círculos dados en el plano.
Desde el siglo XIX, los geómetras algebraicos se han interesado en problemas de naturaleza similar. En uno de estos problemas, se reemplaza el plano por un espacio algebraico, los círculos dados por puntos, y se cuentan las esferas con un cierto grado asociado. La pregunta es entonces: ¿Cuántas esferas de grado fijo d, pasando por los 3d -1 puntos, contiene dicho espacio? Cuando este espacio es una variedad Calabi-Yau, el problema se conoce como la conjetura de Clemens. En la variedad Calabi-Yau más simple, se ha calculado que hay un total de 609,250 esferas de grado 2, según el trabajo del matemático Sheldon Katz en 1986.
En 1991, un equipo de cuatro físicos, compuesto por Philip Candelas, Xenia De La Ossa, Paul Green y Linda Parkes, realizó un cálculo que predijo el número de esferas de diferentes grados d en un espacio Calabi-Yau. La compleja serie de cantidades de esferas, que hasta entonces había sido inaccesible para los cálculos matemáticos, pudo ser codificada en una función elegante que medía la probabilidad de propagación de una cuerda.
El desarrollo ulterior de estas ideas ha generado todo un campo de estudio en matemáticas conocido como simetría especular, que aborda problemas importantes como las conjeturas homológicas de simetría especular, formuladas por el matemático y medallista Fields Maxim Kontsevich. Otro problema matemático cuya solución se benefició de herramientas provenientes de la teoría de cuerdas es la conjetura de Poincaré, resuelta por el matemático ruso Grigori Perelman en 2006, quien rechazó la Medalla Fields que le fue ofrecida como reconocimiento. Este problema se centra en la clasificación de los espacios tridimensionales compactos. Perelman desarrolló una nueva técnica, denominada flujo de Ricci con cirugía, basada en ideas previas de Richard Hamilton. Esta técnica permite modificar estos espacios mediante cortes y suturas, lo que facilita su descomposición en otros más elementales y, por ende, su clasificación.
Tanto la ecuación de modificación del espacio utilizada por Perelman como la energía que determinaba el momento oportuno para cada cirugía eran conceptos familiares en la teoría de cuerdas: se correspondían con el flujo de renormalización y la acción efectiva, respectivamente. Estos elementos permiten describir la física observada en cuatro dimensiones a partir de un modelo de cuerdas de diez dimensiones. Estas ideas continúan evolucionando en el marco del flujo de Ricci generalizado, que ha sido abordado en un libro recientemente publicado por la American Mathematical Society. Según una propuesta del matemático Jeffrey Streets, esta teoría podría tener aplicaciones futuras en la clasificación de una importante clase de espacios de dimensión cuatro, conocidos como superficies complejas.
Estos ejemplos ilustran cómo, a pesar de que el interés físico en la teoría de cuerdas ha disminuido con el tiempo, principalmente debido a su falta de capacidad predictiva y a que algunos de sus postulados, como la supersimetría, aún no han sido confirmados experimentalmente, la teoría sigue siendo altamente valiosa para las matemáticas. Ya sea como una fuente de inspiración para nuevos problemas, que requieren el desarrollo de nuevas líneas de pensamiento matemático o incluso teorías completas, o debido a su capacidad para hacer predicciones precisas sobre problemas matemáticos altamente abstractos. Mario García Fernández es investigador en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas.
https://elpais.com/ciencia/2021-12-21/matematicas-inspiradas-por-la-teoria-de-cuerdas.html
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